(Q22)If cosec θ + cot θ = k, then prove that cos θ =
k2 - 1
k2 + 1

Given that cosec θ + cot θ = k

R.H.S. =
k2 - 1
k2 + 1
=
( θ + θ)2 - 1
( θ + θ)2 + 1
=
2 θ + 2 θ + cosec θ . cot θ - 1
2 θ + 2 θ + cosec θ . cot θ + 1

[∵ (a + b)2 = a2 + b2 + 2ab]

=
1 + 2 θ + 2 θ + cosec θ . cot θ - 1
2 θ + 2 θ - 1 + cosec θ . cot θ + 1

[∵ 1 + cot2 θ = cosec2 θ , cosec2 θ - 1 = cot2 θ]

=
cot2 θ + cosec θ . cot θ
cosec2 θ + cosec θ . cot θ
=
2 θ (cot θ + cosec θ)
2 θ (cosec θ + cot θ)
=
θ
θ
=
θ
θ
1
θ
=
θ
θ
×
θ
1

= θ = L.H.S.